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等角螺线及其它详解

浏览次数:时间: 2019-08-11

  等角螺线及其它 ? ? ? ? ? ? ? ? 何谓等角螺线 等角螺线的方程式 趣史一则 等角螺线上的类似性质 黄金朋分取等角螺线 等角螺线的弧长 等角螺线的再素性质 其它螺线举例 几何学是一门积厚流光的数学分支,正在十七世纪以前,几何学一词以至可说是数 学的同义词,它以往的风光可想而知。曾几何时,由于某些内正在取外正在的要素, 几何学的地位似乎已逐步没落; 正在中小学的数学教材里,几何题材一次又一次地 被删除。这种现象使我们感应忧心,由于天然中躲藏着很多几何道理,不了 解这些几何学问,不就暗示我们对所的空间曾经愈来愈不领会了吗? 笔者处置数学教育工做多年, 又是现行高中数学教科书的编者之一,对当前高中 数学教材中几何题材的过度窘蹙,实正在感应无忧无虑。正在无力对教科书做大幅度 点窜的环境下,只好正在正式教科书之外处置一些补葺工做。 基于上述设法,笔者但愿能以一系列的文章来引见一些几何题材。正在内容方面, 笔者起首选上曲线。 由于曲线的会商不只是几何学中最风趣的题材之一,并且许 多曲线城市正在天然现象中呈现,它们的性质也往往能供给主要的使用。例如:天 文千里镜的设想,不就是按照拋物线的反射性质吗?本文引见等角螺线。 何谓等角螺线 正在一片空阔的草地上,甲、乙、丙、丁、四只狗别离坐立正在一个正方形的四个顶 点 A、B、C、D 上。狗仆人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着 丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下,四只狗以不异的速度同时冲向方针。假定每 只狗正在每个时辰都是反面朝向它的方针,那么,这四只狗所跑过的径是什么形 式呢? 假设四只狗正在某一时辰的别离为 A1、B1、C1、D1(见图一),则按照四只 狗的步履分歧所发生的对称性,可知 也就是正方形 第 1 页 共 15 页 也是正方形,并且它的核心 的核心 O。更进一步地,因为正在 A1 点的甲狗系冲向正在 B1 点的乙狗,所以,甲狗正在此一时辰的速度标的目的正在向量 上。或者说,甲 狗所跑的径正在 A1 点的切线°的夹角。同理, 图一 乙狗所跑的径正在 B1 点的切线°的夹角等等。 一般而言, 若一曲线正在每个点 P 的切向量都取某定点 O 至此点 P 所成的向量 夹成必然角,且定角不曲直角,则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral),O 点称为它的顶点 (pole)。 前面所提的四狗逃逐问题中, 每只狗所颠末的线都是一等角螺线的一部门,此 等角螺线中的定角是 正方形 (或 ,由于切向量可选成相反标的目的),而其顶点是 的核心 O。 等角螺线的方程式 正在坐标平面上,若极坐标方程式 点是原点 O,定角为 α ( 暗示一等角螺线( ),则因正在点 ),其极 的切向量为 第 2 页 共 15 页 所以,可得 即 由此可得下述成果: 换言之,此等角螺线的极坐标方程式为 正在前面所提的四狗逃逐问题中, 若核心 O 是顶点而点 A 的极坐标为 丙、 丁四只狗 所跑的径分 别鄙人述 四等角螺线上 : , , , 则甲、 乙、 , 前面所提的 ,就是等角螺线的极坐标方程式。因为正在导出此方程式 的过程中已经援用了天然对数,所以,等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。 趣史一则 第 3 页 共 15 页 等角螺线的性质,笛卡儿(R. Descartes, 1596~1650)正在 1638 年就曾经考虑 过, 但没有获得特殊成果。 托里拆利 (E. Torricelli, 1608~1647 年) 却正在 1645 年发觉相关等角螺线弧长的一项性质,这项性质鄙人文中将会引见。 对于等角螺线的切磋,以伯努利(J. Bernoulli, 1654~1705 年)的最为 丰盛。他发觉将等角螺线做某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些 变换包罗:求等角螺线的垂脚曲线 (pedal curve);求等角螺线的渐屈线 (evolute);求等角螺线反演曲线 (inversive curve);求等角螺线的焦线 (caustic curve);将等角螺线以其顶点为核心做伸缩变换 (dilation),因为这 些变换都能够使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要 将等角螺线的这些性质刻正在他墓碑上, 同时题上一句话: 「Eadem mutata resurgo」 (虽然某些情况改变了,我却连结不变)。这是继阿基米德(前三世纪)之 后,另一位正在墓碑上表示其的数学家。 等角螺线上的类似性质 按照等角螺线的方程式 ,能够看出:对每个 θ 值,都有一个对应 )。这种现 的 r 值;并且分歧的 θ 值所对应的 r 值也分歧(由于 象暗示:从等角螺线上某个点出发,跟着 θ 值的无增大取无减小,此 曲线会环抱它的顶点构成无数多圈,一面是愈绕愈远,一面是愈绕愈堆积正在顶点 附近。若 则当 ,则当 时,曲线堆积正在顶点附近。若 。 , 时,曲线愈绕越远。图二是等角螺线 页 图三 若辐角 , , , ,… 形成一个等差数列,则由指数的性质,对应的向径 , ,… 就形成等比数列。若令 Pn 暗示极坐标 , , ,… 形成一个等比数 取 类似。由 的点,则上述成果暗示 列。又因 此可知: ,所以可知 形成一个等比数列。 若上述等差数列 , , ,… 的公役是 ,P1, P2, P3,… 等乃是过顶点的一 射线取等角螺线的交点。可见:过顶点做肆意射线,则此射线取等角螺线的交点 必以等比数列的形式陈列正在射线上。 对于一般的几何图形, 若我们选定某个点做为伸缩核心将图形放大或缩小,则可 获得一个类似的图形,正在等角螺线的景象中,若伸缩核心是它的顶点,则非论放 大或缩小几多倍, 所得的不只是类似图形罢了,它是取原等角螺线全等的一个等 角螺线。为什么呢?若以顶点为伸缩核心将等角螺线 伸缩