www.asg33.com 亚洲通 亚洲通手机版 亚洲城 亚洲城官网登录 狗万滚球 篮球滚球
栏目导航
五家渠新闻
IT
文化
娱乐
经济
住房
科技

等角螺旋线文库

浏览次数:时间: 2019-07-11

  浅谈等角螺旋线 公管 丁刘泽隆 王海玥 阚萍 摘要:本文次要对等角螺线(logarithmic spiral)进行了研究,成立了等角螺线的数学模子, 切磋了等角螺线的性质、数学模子的特点以及正在糊口,特别是正在工业出产中的使用。 环节词:等角螺线 黄金比 使用 引言:等角螺线又叫对数螺线(logarithmic spiral )是由笛卡儿正在 1683 年发觉的。雅各布·伯 努利 ( )后来从头研究之。他发觉了等角螺线的很多特征,如等角螺线 颠末各类恰当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊讶和赏识这曲线的特征,故要求死 后将之刻正在本人的墓碑上,并附词“纵使改变,仍然故我”( d m m t t surgo)。可 惜雕镂师误将阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达:ρ =α e^(kφ )此中, α 和 k 为,φ 是极角,ρ 是极径,e 是天然对数的底。为了会商便利,我们把 e 或由 e 颠末必然变换和复合的形式定义为“天然律”。等角螺线正在天然界纪律和工业 出产中都有着普遍的使用,如抽水机的涡轮叶片;鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已 有的文献和:文献《螺线》等。 一、 模子的成立 (1) 螺线出格是美学意义能够用指数的形式来表达: ρ =α e^(kφ ) 此中,α 和 k 为,φ 是极角(polar angle),ρ 是极径 (polar Radius),e 是自 然对数( natural logarithm)的底。为了会商便利,我们把 e 或由 e 颠末必然变换和复合 的形式定义为“天然律”。因而,“天然律”的焦点是 e,其值为 2.71828……,是一个无 限不轮回小数。 (2)若何获得一条等角螺线-----等角螺线取黄金比(golden ratio) 起首画一个黄金矩形 ABCD,即一个长比 宽 为 φ 的 矩 形 ,。 如 果 拿 掉 最 大 的 正 方 形 ABEF , 我 们 能 得 到 一 个 新 的 小 黄 金 矩 形 FECD。(证明略)数学供给给我们的糊口经验 以是,一旦我们发觉一个思惟,我们往往能够 通过将这个细想推到极端来成长出新的洞见。 我们能够从新获得的黄金矩形 FECD 中再拿 掉最大的正方形 FGHD,并继续这个过程,如 此发生出一个不竭缩小的黄金矩形的无限集 合。毗连此中的 B、F、H、I、J、K 等点,我 们就能够(粗略地)比及一条等角螺线(logarithmic spiral)了。 《数学爵士乐》【美】 爱?德华伯格 迈克?尔斯塔伯德著 二、 模子的性质 (1)等角螺线的臂的距离以几何级数(geometric progression)递增。 (2)设 L 为穿过原点的肆意曲线,则 L 取等角螺 线的订交的角永久相等(故其名),而此值 为 cot-1 ln b。 从螺线的心向螺线上任一点 引一条线段,该线段取螺线上该点的切线间的夹角处处相等(图片来自 ) (3)设 C 为以原点为圆心的肆意圆,则 C 取等角螺线的订交的角永久相等,而此值为 tan-1 ln b,名为“倾斜度” (4)等角螺线是类似的;这便是说,等角螺线经放大后可取原图完全不异。(以上 来自) (5)等角螺线的渐屈线(asymptotic curve)和垂脚线)从原点到等角螺线的肆意点上的长度无限,但由那点出发沿等角螺线走到原点却需 绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发觉的。 (7)等角螺线的渐屈线是同样的等价螺线,所以也是它关于原点的反演曲线 ( inversional curve)。若是把光源放正在原点,那么它由反射和折射获得的焦散 曲线也是同样的等角螺线)若是等角螺线正在一条曲线上滚动,那么该螺线的成为极的原点的极是另一条曲线。 曲线上从极(即 O 点)到 X 点的长等于 XT,这里 T 是极的起点,∠TOX 曲直角。 (见下图 来自《奇异而风趣的几何》【英】戴维?韦尔斯 著 余应龙 译) T X 三、 模子的使用 1、 天然界中的对数螺线)鹦鹉螺的外壳像等角螺线)旋涡星系的旋臂像等角螺线)蜗牛的外壳像等角螺线)低气压的外不雅像等角螺线)蜘蛛织的网成等角螺线:蜘蛛正在结网的过程 中,腿阐扬了环节的感化。它们先用腿从抽丝器中抽 丝,固定到树干上,把整个轮廓勾勒出来。之后,沿 着曾经建好的轮廓向核心爬,再正在合适的处所加上几 根幅线固定,为了连结均衡,再正在对称的处所加上相 应的幅线。如许,之中就用幅线把圆周分成了几部门, 相邻幅线间的圆周角大体不异。最初,蜘蛛用丝正在半 径(幅线)上,从外圈回旋着核心,同时正在半径 上安上最初成网的螺旋线。这根螺旋线,形如等角螺 线的图像:越接近核心,每周的间距就越密,螺线上 的肆意一点和核心的连线取螺线上这点的切线所构成 的角是一个定角。(摘自:好父母教育征询网) 2、工业中的对数螺线)正在工业出产中,把抽水机的涡轮叶片的曲面 做成对数——螺线的外形,抽水就平均; (2)正在农业出产中,把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的外形,它就会按特定的角度来切 割草料,又快又好; (3)工业出产中利用的一种用于砖瓦轮窑焙烧或汽锅帮燃的离心式引风机,采用了扩 张宽度的呈对数螺线外形的风箱和后向机翼形叶轮等设想,削减了风量丧失,提高了空气动 力机能,具有布局紧凑、挪动便利、能量耗损小; (4)混凝土搅拌机的叶片设想:螺旋叶片的前、后锥采用非等角对数螺旋线 所示, )中圆采用等角对数螺旋线 所示,) (摘自:中国混凝土网) 四、 参考文献 《数学爵士乐》【美】 爱?德华伯格 迈克?尔斯塔伯德著 《数学万花镜》【波】胡?施坦豪斯 著 裘 译 《邮票上的数学》 罗宾?J?威尔逊 著 李心灿 邹建成 郑权 译 《奇异而风趣的几何》【英】戴维?韦尔斯 著 余应龙 译

  等角螺旋线_建建/土木_工程科技_专业材料。浅谈等角螺旋线 公管 丁刘泽隆 王海玥 阚萍 摘要:本文次要对等角螺线(logarithmic spiral)进行了研究,成立了等角螺线的数学模子, 切磋了等角螺线的性质、数学模子的